Transfert thermique dans les bioréacteurs

Bioréacteur équipé d'une double enveloppe, régulé thermiquement par un fluide caloporteur.

Cuve : vert, double enveloppe : orange

T_co : température de sortie du fluide caloporteur (°C)

T_ci : température d'entrée du fluide caloporteur(°C)

\(\dot{M}_C\): flux de fluide caloporteur (kg.s^-1)

C_pc: capacité calorifique du fluide caloporteur (J.kg^-1.°C^-1)

a_f : surface d'échange (m²)

U : coefficient global d'échange thermique(W.m^-2.°C^-1)

h₁ : coefficient d'échange thermique à l'intérieur de la cuve (W.m^-2.°C^-1)

h₂ : coefficient d'échange thermique au sein du fluide caloporteur (W.m^-2.°C^-1)

e: épaisseur de la paroi (m)

λ: conductivité thermique de la paroi (W.m^-1.°C^-1)

C_pb: capacité calorifique du milieu (J.kg^-1.°C^-1)

λ_b: conductivité thermique du milieu (W.m^-1.°C^-1)

T_b : température du milieu (°C)

M_b : quantité de milieu (kg)

μ_b : viscosité du milieu (Pa.s)

N : vitesse de rotation (s^-1)

Ø : Flux de chaleur transféré (W)

Pour avoir un état stationnaire au niveau de la température à l'intérieur de la cuve, il faudra que la chaleur produite par le bioréacteur Ø_T soit égale au flux transféré et au flux capté par le fluide caloporteur.

Ø_T=Flux transféré=Flux capté

\(Ø_T=U.\frac{T_{co}-T_{ci}}{ln\frac{T_b-T_{ci}}{T_b-T_{co}}}.a_f\)\(= \dot{M}_C.C_{pc}.(T_{co}-T_{ci})\)

\(\frac{1}{U}=\frac{1}{h_1}+\frac{e}{λ}+\frac{1}{h_2}\)

En milieu visqueux, comme c'est souvent le cas dans les bioréacteurs, h₁<<h₂, et par ailleurs h₁<<e/λ, il sera donc possible d'approximer : \(\frac{1}{U}=\frac{1}{h_1}\)

Calcul de h₁ :

Pour la calcul du coefficient d'échange thermique à l'intérieur de la cuve, on recherchera une corrélation empirique du Nusselt correspondant à la géométrie de la cuve, du type : \(Nu_1=k.{Re_A}^α.{Pr}^β\)

Avec :

- Nu₁ : Nombre de Nusselt caractérisant l'échange thermique à l'intérieur de la cuve, \(Nu_1=\frac{h_1.D}{λ_b}\)

- ReA : Reynolds d'agitation, \(Re_A=\frac{ρ.N.d^2}{µ_b}\)

- Pr : Nombre de Prandlt, \(Pr=\frac{C_{pb}.µ_b}{λ_b}\)