Conduite des bioréacteurs - Éléments de méthodologie

Partons du cas général :

Q_e le débit volumique d'entrée (en m³/s) d'un soluté B dans la cuve.

Un débit Q_s est soutiré en continu.

C_e = concentration du soluté dans la solution d'entrée.

C = concentration du soluté dans la cuve.

On va écrire:

• Les entrées

• Les sorties

• La production ou destruction

• L'accumulation

Tous les termes du bilan doivent être écrits dans la même unité.

Choisissons ici d'écrire le bilan sur le débit massique (kg/h) du soluté.

Entrée de soluté = Q_e*C_e

Sortie de soluté = Q_s*C_s= Q_s*C (le réacteur étant parfaitement agité)

Accumulation : c'est la variation de la quantité de soluté dans la cuve au cours du temps = \(\frac{d\left( V\times {{C}} \right)}{dt}\)

Production ou destruction : Supposons que le soluté soit consommé dans la cuve par une réaction chimique d'ordre 1 avec une constante de réaction notée k. La variation de sa concentration dans la cuve au cours du temps s'écrit alors : \(\frac{d{{C}}}{dt}=-k\times {{C}}\). Ramenée en kg/h, cette entité devient : \(-k\times V\times {{C}}\)

Ainsi le bilan matière global sur la cuve fonctionnant en continue s'écrit :

\(\frac{d\left( V\times {{C}} \right)}{dt}={{Q}_{e}}\times {{C}_{e}}-{{Q}_{s}}\times {{C}}-k\times V\times {{C}}\)

Dans le présent cas particulier :

• Si le débit d'entrée et le débit de sortie sont égaux : Q_e = Q_s = Q alors :

  \(\frac{d\left( V\times {{C}} \right)}{dt}=Q\times \left( {{C}_{e}}-{{C}} \right)-k\times V\times {{C}}\)

  Si les débit sont égaux, alors il n'y a pas de variation du volume réactionnel dans la cuve. Dans ce cas l'équation devient : \(V\times \frac{d{{C}}}{dt}=Q\times \left( {{C}_{e}}-{{C}} \right)-k\times V\times {{C}}\)

• Si en plus, il n'y a pas de réaction (la cuve est alors un simple mélangeur ou un échangeur thermique) : k = 0, alors :

  \(V\times \frac{d{{C}}}{dt}=Q\times \left( {{C}_{e}}-{{C}} \right)\)

  → \(\frac{d{{C}}}{dt}=\frac{Q}{V}\times \left( {{C}_{e}}-{{C}} \right)\)

  La solution de cette dernière équation donne la courbe C=f(t) qui représente finalement l'évolution de la concentration d'un traceur dans une cuve pour évaluer le temps de mélange.

Cette équation est réarrangée comme suit : \(\frac{Q}{V}dt=\frac{dC}{(C_e-C)}\)

Cette équation différentielle doit maintenant être intégrée afin d'obtenir l'expression de C en fonction du temps :

\(\int_{t=0}^{t}\frac{Q}{V}dt=\int_{C=0}^{C}\frac{dC}{(C_e-C)}\)

Ce qui donne : \(\frac{Q}{V}t=[-ln(C_e-C)]_{0}^{C}\)

Soit : \(\frac{Q}{V}t=-ln(C_e-C)+lnC_e donc \frac{Q}{V}t=ln\frac{Ce}{C_e-C}\)

Donc \(e^{\frac{Q}{V}t}=\frac{Ce}{C_e-C}\)

Il suffit maintenant de réarranger l'équation pour exprimer C en fonction de t :

\((C_e-C)\times e^{\frac{Q}{V}t}=C_e donc C_e\times (e^{\frac{Q}{V}t}-1)=C\times e^{\frac{Q}{V}t}\)

D'où : \(C=C_e\times (1-e^{-\frac{Q}{V}t})\)

Si on trace cette courbe (qualitativement, c'est-à-dire sans nécessairement assigner de valeurs aux constantes), on obtient l'allure suivante, qui montre une augmentation asymptotique

C_s=0,99*C_e revient à : \(\frac{C}{C_e}=0,99=(1-e^{-\frac{Q}{V}t})\)

Donc \(e^{-\frac{Q}{V}t}=0,01\) donc \(-\frac{Q}{V}\times t = ln0,01\)

Donc \(t=-\frac{V}{Q}\times ln0,01\)

Donc \(t=4,6\times t_s\) où t_s est le temps de passage ou le temps de séjour moyen du soluté dans la cuve.